《土力学》教材中关于一维固结微分方程推导的讨论

2019-08-29 08:50  来源:岩土网  阅读:6184
土力学的“土”很为精于数学力学者所诟病与腹诽,这我们可以用学科特点来搪塞。但既然忝列于“力学”,基本的游戏规则还是要遵守的。连正负号都总是错误,那就是耻辱了。此文针对各种教材中的几种情况与方法分别进行了推导与分析,但愿对于讲授和学习《土力学》的师生们有所裨益。已是耄耋之年,经常犯糊涂而被老伴申斥,谬误之处敬请指教。

《土力学》教材中关于一维固结微分方程推导的讨论

李广信

陈津民先生在2004年第4期的《岩土工程界》中发表了一篇“错了八次正负号的正确解——一维渗流固结微分方程推导及其解”。指出有的《土力学》教材在这个方程推导中,正负号错了八次,最后居然又回到正确的解答。可能是已知了正确的解,然后“凑”出来的(有趣的是,凡是正负号错误都是偶次。)。最近我在修订我校的《土力学》教材第三版,翻阅了十几本国内外的教材,发现在这个课题中罕有概念清楚,推导明白正确的。最近出版的河海大学第三版《土力学》中其推导是清楚和正确的,十分难得。

土力学的“土”很为精于数学力学者所诟病与腹诽,这我们可以用学科特点来搪塞。但既然忝列于“力学”,基本的游戏规则还是要遵守的。连正负号都总是错误,那就是耻辱了。此文针对各种教材中的几种情况与方法分别进行了推导与分析,但愿对于讲授和学习《土力学》的师生们有所裨益。已是耄耋之年,经常犯糊涂而被老伴申斥,谬误之处敬请指教。

(一)方法1(坐标z和流向q均以向上为正)

这种方法国内教材比较少见,国外的教材倒是常有,但最后的边界、初始条件与微分方程的形式往往是错的。

微分方程的推导

图片未命名

图1

在图1所示的饱和地基土中深度H-z处取一单位面积的微单元体,令dx=1,dy=1,厚度为dz,见图1(b)。图中定义坐标z以向上为正,流速流量向量也都以向上为正。

(1)微单元流出水量分析

在图1(b)中,

流入流量:q

流出流量:图片未命名

则在dt时段内净流出水量:

图片未命名

由于在数值上q=v,根据达西定律,则

图片未命名

(注:流速向上为正,而孔压u向上是减少的)

式中,h为土层中各点超静孔压的压力水头,图片未命名

图片未命名

代入式(a),

图片未命名

(2)微单元体的体积压缩量分析

设微单元体的体积为V, 在dt时段内微单元的体积压缩量为正,表示为dV

图片未命名

按照压缩系数的定义:

图片未命名

由于图片未命名p为常数,所以图片未命名则式(f)可写为:

图片未命名

将式(g)代入式(e)

图片未命名

(3) 在dt时段内微单元净流出水量图片未命名等于其体积压缩量dV

根据图片未命名即(d)等于式(i),则

图片未命名

即可表示为:

图片未命名

其中

图片未命名

     图片未命名称为固结系数,常用的单位有图片未命名等.

式(2)是描述在渗流固结过程中,超静孔压时空分布的微分方程,其中图片未命名图片未命名成正比,而图片未命名表示孔压随时间的变化率,所以可见固结系数图片未命名是反映土体中孔压变化速率的参数。

微分方程的解析解

式(2) 一般称为一维渗流固结微分方程,可以根据不同的初始条件和边界条件求得它的特解。对于图1所示的瞬时加载情况:

图片未命名

傅里叶级数可求得上述边界条件和初始条件下的解答如下:

图片未命名

式中:

m——正奇数(1.3.5......);

e——自然对数底数;

H——竖向排水的最长距离,单面排水时,等于土层厚度;双面排水时等于土层厚度之半;

     图片未命名——无量纲的时间因数,按下式计算:

图片未命名

在上述的边界条件下,微分方程的解析解式(6)具有如下特点:

(1)各项正弦函数值只含自变量z,表明孔压在空间上的分布按三角函数分布;

(2)各项指数函数中只含自变量t,并且t前面的系数为负值,表明孔压在时间上按照指数函数衰减;

(3)随着m的增加,后面各项的影响急剧减小。

(二)方法2(坐标z向下,流向q向上为正)

这种形式与方法是国内教材最常用的,由于我国的教材基本靠“抄”,所以问题和错误也有很大的相似度。

微分方程的建立

图片未命名

图2

注:这种推导坐标z是以向下为正,以地面为0点。但是流速v,流量q都以真实方向为正(向上);体积也以压缩为正。优点是符合实际工况、直观,缺点是要时刻注意正负号。由于方向相反,推导中应十分谨慎。

(1)微单元流出水量分析

见图2,

流入的流量:q

流出的流量:图片未命名

(注:这里流出流量增量图片未命名是正的,但q沿着z向下是递减的图片未命名)

在dt时段内净流出水量图片未命名

图片未命名

(由于流速q向上为正,而图片未命名向下则是正的,不加负号。)根据式(b),

图片未命名

(注:这里的q,v和水力坡降i都是随着z增加而减少的)

将(c)代入(a)


图片未命名

(2)微单元的体积压缩dV分析

以体积压缩为正。设dt时段的体积压缩量为dV,

图片未命名

这里的dz是没有方向的长度,按照式(4-11)压缩系数的定义:

图片未命名

由于图片未命名p为常数,所以图片未命名则式(f)可写为:

图片未命名

将式(g)代入式(e)

图片未命名

(3)在dt时段内微单元净流出水量图片未命名等于其体积压缩量dV

根据图片未命名即(d)等于式(i),则

图片未命名

即可表示为:

图片未命名

(三)方法3(坐标z与流向q向下为正)

这是清华大学《土力学》教材所设的条件,抱歉的是正负号错了两次。

图片未命名

图3

(注:这种推导坐标z是以向下为正,以地面为0点。但是流速v,流量q也都以向下正;体积以压缩为正。但由于方向与真实流向相反,结果是步步陷阱,推导中应步步谨慎。)

(1) 微单元流出水量分析

见图3,尽管流向以向下为正,但微单元中水的流向真实流向的流量(速)是负的。

流出的流量:-q

流入的流量:-(q+dq)=-q-dq

在dt时段内净流出水量图片未命名

     图片未命名

(注意,这里的图片未命名是流出水量,是正值,是从微单元流向地面方向(上)的,所以)


图片未命名

(这里流出流水图片未命名是正的,但q沿着z向下是递减的,即图片未命名)

图片未命名

(由于流速向下为正,而图片未命名向下则是正的,假设水往高处流,i是水力坡降,在这里是负的。)

根据式(b),

图片未命名

(这里的q,v和水力坡降i都是随着z增加而减少的)

将(c)代入(a)

图片未命名

(2)微单元的体积压缩dV分析

以体积压缩为正。设dt时段的体积压缩量为dV,是正值,而de是负值:

图片未命名

这里的dz是没有方向的长度,按照式(4-11)压缩系数的定义:


图片未命名

由于图片未命名p为常数,所以图片未命名则式(f)可写为:

图片未命名

将式(g)代入式(e)

图片未命名

(3) 在dt时段内微单元净流出水量图片未命名等于其体积压缩量dV

根据图片未命名即(d)等于式(i),则

图片未命名

即可表示为:

图片未命名

这里的正与负,涉及方向的正负,一般在图中标注的就被认为是规定的正方向;也有应力、应变、体积的压拉(胀)的正负规定,由于土力学中,以压为正已经成为共识,所以要在推导中讲清;还有就是增减的正负,它往往与方向正负规定有关。

这种推导的正确与否与概念是否清楚有关,应清楚真实水流是向上的,向上压力是递减的,流量是递增的。脱离了基本概念,企图用纯数学推导是会脱离实际而犯错误的。

编教材不是只靠抄,名词概念要去翻阅大量资料,要有自己的观点;公式理论要自己推导,别人的东西可能是错的;习题例题要自己亲自去计算;图表要校对要改进。以其昏昏,使人昭昭是会误人子弟的。所谓“师德”“学术伦理”即使如此。

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我有话说

全部评论(4)

  • 1184645677发表于 10月31日 15:39这家伙很懒,没有个性签名!
点评:
  • 空客凌云发表于 10月24日 16:10这家伙很懒,没有个性签名!
  • 向大师学习
点评:
  • wyhbox发表于 09月01日 22:56修地球
  • 李老师治学严谨
点评:
  • 18330382348发表于 08月30日 11:16这家伙很懒,没有个性签名!
  • 学习了,很赞!
点评:

李广信

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